Question

如图，抛物线y=

1

2

x²-x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=-2x上．
（1）求二次函数的关系式；
（2）求A，B的坐标；
（3）求以AC，CB为边的三角形面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=

1

2

x²-x+a，得出对称轴x=-

b

2a

=1，再利用抛物线的顶点在直线y=-2x上，即可求出顶点坐标，进而得出a的值；
（2）利用图象与x轴交点求法即y=0，求出x即可得出答案；
（3）根据图象与坐标轴交点坐标即可得出AB，CO的长，进而求出三角形面积即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²-x+a，
∴对称轴x=-

b

2a

=1，
∵抛物线的顶点在直线y=-2x上，
∴y=-2×1=-2，
∴顶点坐标为：（1，-2），
代入解析式得：-2=

1

2

-1+a，
解得：a=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）当y=0，
则0=

1

2

x²-x-

3

2

，
解得：x₁=3，x₂=-1，
故A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0）；

（3）∵抛物线y=

1

2

x²-x-

3

2

与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=-

3

2

，则C点坐标为：（0．-

3

2

），
故OC=

3

2

，
∵A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×

3

2

=3．

点评：本题考查了抛物线和x轴、y轴的交点问题以及图象上点的坐标性质，根据已知得出抛物线的顶点坐标是解题关键．