题目内容
对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，其中a1•a2≠0．当|a1|=|a2|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．现有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．我们记过三点的二次函数的图象为“C□□□”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．如过点A、B、M三点的二次函数的图象为CABM．
（1）如果已知M（0，1），△ABM≌△ABN．请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线；
（2）①若已知M（0，n），在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．求抛物线CABM的解析式，然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式．
②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线CABM？根据以上的探究结果，在图中的平面直角坐标系中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线C□□□”．
【答案】分析：（1）应该是全等抛物线，由于这两个抛物线虽然开口方向不同，但是开口大小一样，因此二次项的绝对值也应该相等．可用待定系数法求出两抛物线的解析式，然后进行判断即可．
（2）①先设抛物线CABM的解析式y=ax2+bx+c，把三点代入即解得；
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线CABM，与CABM全等的抛物线有：CABN，CAME，CBMF．
解答：
解：（1）设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线CABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，1），
解得：
∴抛物线CABM的解析式为y=-x2+1，从而解得．
同理可得抛物线CABN的解析式为y=x2+1，
∵|-1|=|1|，
∴CABM与CABN是全等抛物线．
（2）①设抛物线CABM的解析式y=ax2+bx+c
∵抛物线CABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，n），
抛物线CABM的解析式为y=-nx2+n，
与CABM全等的抛物线有：
y=nx2-n，y=n（x-1）2，y=n（x+1）2
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线CABM，与CABM全等的抛物线有：CABN，CAME，CBMF．
点评：本题是函数与几何结合的综合题，解题关键是善于利用几何图形的性质以及函数的性质和定理等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．（1）由于这两个抛物线虽然开口方向不同，但是开口大小一样，因此二次项的绝对值也应该相等．可用待定系数法求出两抛物线的解析式，然后进行判断即可．（2）与（1）相同都是通过构建平行四边形来得出与△ABM全等的三角形，那么过与△ABM全等的三角形的三个顶点的抛物线都是与CABM全等的抛物线．①设其一般解析式，把三点代入即得．②当n≠0且m≠±1时，即求得．
（2）①先设抛物线CABM的解析式y=ax2+bx+c，把三点代入即解得；
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线CABM，与CABM全等的抛物线有：CABN，CAME，CBMF．
解答：
解：（1）设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线CABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，1），
解得：
∴抛物线CABM的解析式为y=-x2+1，从而解得．
同理可得抛物线CABN的解析式为y=x2+1，
∵|-1|=|1|，
∴CABM与CABN是全等抛物线．
（2）①设抛物线CABM的解析式y=ax2+bx+c
∵抛物线CABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，n），
抛物线CABM的解析式为y=-nx2+n，
与CABM全等的抛物线有：
y=nx2-n，y=n（x-1）2，y=n（x+1）2
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线CABM，与CABM全等的抛物线有：CABN，CAME，CBMF．
点评：本题是函数与几何结合的综合题，解题关键是善于利用几何图形的性质以及函数的性质和定理等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．（1）由于这两个抛物线虽然开口方向不同，但是开口大小一样，因此二次项的绝对值也应该相等．可用待定系数法求出两抛物线的解析式，然后进行判断即可．（2）与（1）相同都是通过构建平行四边形来得出与△ABM全等的三角形，那么过与△ABM全等的三角形的三个顶点的抛物线都是与CABM全等的抛物线．①设其一般解析式，把三点代入即得．②当n≠0且m≠±1时，即求得．
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