题目内容

观察式子：
1
1×3
=
1
2
（1-
1
3
），
1
3×5
=
1
2
（
1
3
-
1
5
），
1
5×7
=
1
2
（
1
5
-
1
7
），…．由此计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2009×2011
=
 
．
分析：根据所给式子，发现规律：
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+2
），然后运用抵消的方法进行计算．
解答：解：原式=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2009
-
1
2011
）=
1
2
×（1-
1
2011
）=
1
2
×
2010
2011
=
1005
2011
．
点评：计算此类题的时候，要善于找到拆分的规律，然后运用抵消的方法简便计算．
练习册系列答案
相关题目
观察下列式子：
1
1
(
1
2
-
1
3
)
=
1
2
2
3
；
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
；
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
…
则第n个式子是
．
观察下列式子：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
（1）请你根据上述规律写出第n个式子
（2）利用规律解方程：
1
x(x+1)
+
1
(x+1)(x+2)
+
1
(x+2)(x+3)
+
1
(x+3)(x+4)
+
1
(x+4)(x+5)
=
2x-1
x(x+5)
．
探究：观察下列各式
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…请你根据以上式子的规律填写：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2010×2011
=
2010
2011
2010
2011
；
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
…+
1
(2n-1)(2n+1)
=
n
2n+1
n
2n+1
．
观察式子：
1
1×3
=
1
2
（1-
1
3
），
1
3×5
=
1
2
（
1
3
-
1
5
），
1
5×7
=
1
2
（
1
5
-
1
7
），…．由此计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2009×2011
=______．

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