Question

（1）如图①，P是?ABCD内一点，请说明S_△PAB，S_△PCD，S_△PAD，S_△PBC间的关系；
（2）如图②，P是?ABCD外一点，请说明S_△PAB，S_△PCD，S_△PBC，S_△PAD间的关系．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）过P作PM⊥BC，PN⊥AD分别于点M、N，则MN就是平行四边形ABCD的高，根据三角形的面积公式以及平行四边形的面积公式即可求解；
（2）过P作PF⊥BC于点F，交AD于点E，根据三角形的面积公式以及（1）中的结论S_△PAB+S_△PCD=

1

2

S_{平行四边形ABCD}即可求解．

解答：解：（1）过P作PM⊥BC，PN⊥AD分别于点M、N．
则MN就是平行四边形ABCD的高．
则S_{平行四边形ABCD}=AD•MN，
∵S_△PAD=

1

2

AD•PN，
S_△PBC=

1

2

BC•PM=

1

2

AD•PM，
∴S_△PAD+S_△PBC=

1

2

AD•（PM+PN）=

1

2

AD•MN=

1

2

S_{平行四边形ABCD}．
同理，S_△PAB+S_△PCD=

1

2

S_{平行四边形ABCD}．
则S_△PAB+S_△PCD=S_△PAD+S_△PBC；
（2）过P作PF⊥BC于点F，交AD于点E．
∵S_△PBC=

1

2

BC•PF=

1

2

AD•（PE+EF）=

1

2

AD•EF+

1

2

AD•PE=

1

2

S_{平行四边形ABCD}+

1

2

AD•PE，
又∵S_△PAD=

1

2

AD•PE，S_△BCE=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，
同（1）可得S_△PAB+S_△PCD=

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2

S_{平行四边形ABCD}．
∴S_△PBC=S_△PAB+S_△PCD+S_△PAD．

点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积公式，正确理解三角形的面积和平行四边形的面积公式，得到S_△PAB+S_△PCD=

1

2

S_{平行四边形ABCD}是关键．