Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．

（1）求证：AB=AC；（2）当=时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值。

Answer 1

（1）证明：∵BE切⊙O于点B，

∴∠ABE＝∠C。

∵∠EBC＝2∠C，

即  ∠ABE＋∠ABC＝2∠C。

∴∠ABC＝∠C。

∴AB＝AC。

（2）解：①如图，连接AO，交BC于点F。

∵AB＝AC∴   =

∴AO⊥BC，且BF＝FC。

∵  ∴∴

设,，

由勾股定理，得AF==

∴

②在EBA和ECB中，

∵∠E=∠E, ∠EBA=∠ECB,  ∴△EBA∽△ECB,

∴= 

∵= 

∴（※）

由切割线定理，得

将（※）式代入上式，得

∵,

∴…