Question

【题目】

正方形ABCD边长为4 cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，若点M与点C重合，求证：DF=MN；

（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①当点F是边AB的中点时，求t的值；

②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）t=；②t=2或t=4.

【解析】

试题分析：（1）先判定△ADF≌△DNC，即可得到结论；

（2）①当点F是AB中点时，由比例式，计算即可，②先表示出AF，DN=CM=t，AN=DM=4-t，再分三种情况计算．

试题解析：（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°.

∴∠ADF=∠DCN.

在△ADF与△DNC中，

∴△ADF≌△DNC（ASA）. 2分

∴DF=MN.

（2）①当点F是边AB中点时，则AF=AB=2.

由题意可知，CM=t，AE=t，CE=4－t

∵AB∥CD，

∴△AEF∽△CED.

∴.

即

∴t=

②t=2或t=4.

详细解答过程如下：

∵△AEF∽△CED.

∴

∴

∴AF=

易证△MND∽△DFA，

∴，

∴，解得ND=t.

∴DN=CM=t，AN=DM=4－t

若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：

(ⅰ) 若FN=FM，由MN⊥DF知，FD为NM的垂直平分线，∴DN=DM

即t=4－t，∴t=2（此时点F与点B重合）

（ⅱ）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如图所示，

由∠NDM=∠MCF，ND=MC，FM=MN

可得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=4－t.

由△NDM∽△DCF，可得

∴，∴t=4（此时点F与点C重合）

（ⅲ）若FN=MN，如图所示，

由∠FAN=∠NDM，AN=DM，FN=MN

可得△FAN≌△NDM，∴AF=DN，即=t，

解得t=0（此时点F与点A重合）

∵t＞0，∴不符合题意，∴此种情形不存在.

综上所述，当t=2或t=4时，△MNF能够成为等腰三角形.