题目内容

如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需元；
探究2：如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；
探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（7×3平方米）进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板块．

220 21
分析：（1）CF=1，BC=2，得到BF=1，然后分别计算出S_△ABE= $\text{[math]}$ •2•1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，再乘以它们的单价即可得到一块木板用墙纸的费用；
（2）设FC=xm，则BF=（1-x）m，总费用为y元，再计算S_△ABE= $\text{[math]}$ •（1-x）•1= $\text{[math]}$ （1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1- $\text{[math]}$ （1-x）-x²=-x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，然后乘以它们的单价即可得到一块木板用墙纸的费用，最后利用二次函数的最值问题求出
当x= $\text{[math]}$ 时，y_最小=55元．
（3）同（2）一样，设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，得到y=20x²-20ax+60a²，当x= $\text{[math]}$ a时，y有最小值，即墙纸费用最省；当x≤1，则 $\text{[math]}$ a≤1，得a≤2，而a为整数，得到a=1或2，然后比较费用，最后得到需要这样的木块21块．
解答：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE= $\text{[math]}$ •2•1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；
故答案为220．
（2）设FC=xm，则BF=（1-x）m，总费用为y元，
∴S_△ABE= $\text{[math]}$ •（1-x）•1= $\text{[math]}$ （1-x），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=1- $\text{[math]}$ （1-x）-x²=-x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ （1-x）×80+x²•60+（-x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）•40
=20x²-20x+60
=20（x- $\text{[math]}$ ）²+55，
当x= $\text{[math]}$ 时，y_最小=55元．
所以这块木板需用墙纸的最省费用为55元；
（3）设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，
∴S_△ABE= $\text{[math]}$ •（a-x）•a= $\text{[math]}$ （a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²- $\text{[math]}$ （a²-ax）-x²=-x²+ $\text{[math]}$ ax+ $\text{[math]}$ a²，
∴y= $\text{[math]}$ （a²-ax）×80+x²•60+（-x²+ $\text{[math]}$ ax+ $\text{[math]}$ a²）•40
=20x²-20ax+60a²
∴当x= $\text{[math]}$ a时，y有最小值，即墙纸费用最省；
当x≤1，则 $\text{[math]}$ a≤1，得a≤2，而a为正整数，得到a=1或2，
当a=1，费用为21×55=1155；当a=2，费用为6×220=1320，
所以a=1，用21块．
故答案为21．
点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．