Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，Ð B＝90o，AB＝12 cm，BC＝9 cm，DC＝13 cm，点P是线段AB上一个动点、设BP为x cm，△PCD的面积为y cm²，

(1)求AD的长；

(2)求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

(3)在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由、

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如图1，作DE⊥BC于点E． 　　由题意可知，四边形ABED是矩形，AB＝DE，AD＝BE 　　在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝12，CD＝13， 　　∴EC＝5 　　∴AD＝4 　　(2)BP为x，则AP＝12－x 　　 　　 　　∴ 　　＝、 　　即，0≤x≤12 　　当x＝0时，y取得最大值为54 cm2 　　(3)若△PCD是直角三角形，存在两种情况，如图2． 　　①∠DPC＝90° 　　∵∠APD＋∠BPC＝90°，∠BPC＋∠PCB＝90°， 　　∴∠APD＝∠PCB 　　∴△APD∽△BCP 　　∴ 　　即 　　∴ 　　②∠P1DC＝90° 　　在Rt△P1BC中，， 　　在Rt△P1AD中，， 　　∵∠P1DC＝90°， 　　 　　即 　　∴ 　　综上，当或时，△PCD是直角三角形