题目内容

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：______．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=，求tan∠ACP的值．
【答案】分析：（1）由题意知∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM故有△ABE∽△DBM?AE：DM=AB：BD，而∠ABC=45°?AB=BD，则有AE=MD；
（2）由于cos60°=，类似（1）可得到AE=2MD；
（3）由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC．
求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由三角函数的概念求得AD、ND的值，进而求得tan∠ACP的值．
解答：（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC即AB=BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴，
∴AE=MD．

（2）解：∵cos60°=，
∴MD=AE•cos∠ABC=AE•，即AE=2MD．
∴AE=2MD；

（3）解：如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，AE=2，AB=7，
∴BE=．
∴tan∠EAB=．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=，
∴NA=AD-ND=．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=AN=，AH=AN•cos∠NAH=，
∴CH=AC-AH=，
∴tan∠ACP=．
点评：本题考查了相似三角形的判定，利用直角三角形的性质，三角函数的概念求解，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．
练习册系列答案
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25、已知：在△ABC中AB=AC，点D在CB的延长线上．
求证：AD2-AB2=BD•CD．
精英家教网（1）化简：（a-
1
a
）÷
a2-2a+1
a
；
（2）已知：在△ABC中，AB=AC．
①设△ABC的周长为7，BC=y，AB=x（2≤x≤3）．写出y关于x的函数关系式；
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20、如图，已知，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点M，ME∥AB交BC于点E，MF∥AC交BC于点F．求证：△MEF的周长等于BC的长．
12、已知，在△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是
x＞3
．
已知：在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为点E．∠B=38°，∠C=70°．
①求∠DAE的度数；
②试写出∠DAE与∠B、∠C之间的一般等量关系式（只写结论）

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