Question

【题目】设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”

（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；

（2）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求的值；

（3）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含的代数式表示)．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”，理由见解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）由k＞0可知反比例函数在闭区间[1，2019]上y随x的增大而减小，然后将x＝1，x＝2019分别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y的范围，于是可做出判断；

（2）先求得二次函数的对称轴为x＝3，a＝1＞0，根据二次函数的性质可知在闭区间上y随x的增大而增大，然后将x＝3，y＝3，x＝4，y＝4分别代入二次函数的解析式，从而可求得k的值；

（3）当k＞0时，将（m，m）、（n，n）代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k＝1、b＝0，故此函数的表达式为y＝x；当k＜0时，将（m，n）、（n，m）代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k＝1、b＝m＋n的值，从而可求得函数的表达式．

(1)反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”

理由如下

反比例函数在第一象限，随的增大而减小，

当时，

当时，,

即图象过点(1,2019)和(2019,1)

当时，有，符合闭函数的定义，

反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”

(2)由于二次函数的图象开口向上,对称轴为,

二次函数在闭区间[3,4]内，随的增大而增大

当时，,

当时，,

即图象过点(3,3)和(4,4)

当时，有，符合闭函数的定义，

(3)因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，

根据一次函数的图象与性质，有

①当时，即图象过点和

，解得.

②当时，即图象过点和,

解得

∴直线解析式为

综上所述，当k＞0时，直线的解析式为y＝x，当k＜0，直线的解析式为y＝x＋m＋n．