Question

11．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB长为2．
（1）求点O到AB的距离．
（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠BCA的度数．

Answer 1

分析 （1）过点O作OC⊥AB于点C，证出△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数，然后由三角函数的性质，求得点O到AB的距离；
（2）证出△ABO是等边三角形得出∠AOB=60°． 再分两种情况：点C在优弧$\widehat{ACB}$上，则∠BCA=30°；点C在劣弧$\widehat{AB}$上，则∠BCA=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）=150°；即可得出结果．

解答 解：（1）过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，BO．如图1所示：
∵OD⊥AB且过圆心，AB=2，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=1，∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
即点O到AB的距离为$\sqrt{3}$．
（2）如图2所示：
∵AO=BO=2，AB=2，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°． 
若点C在优弧$\widehat{ACB}$上，则∠BCA=30°；
若点C在劣弧$\widehat{AB}$上，则∠BCA=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）=150°；
综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．

点评 此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、弧长公式．熟练掌握垂径定理，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．