Question

如图，二次函数y=

2

3

x2-

1

3

x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（-1，m），B（n，n）
（1）求A、B的坐标；
（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
①这样的点C有几个？
②能否将抛物线y=

2

3

x2-

1

3

x平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A（-1，m）代入函数式而解得m的值，同理解得n值，从而得到A，B的坐标；
（2）①由题意可知：这样的C点有3个，
②能，分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程．

解答：解：（1）∵y=

2

3

x2-

1

3

x的图象过点A（-1，m）
∴m=

2

3

×(-1)2-

1

3

×(-1)
即m=1
同理：n=

2

3

n2-

1

3

n
解之，得n=0（舍）或n=2
∴A（-1，1），B（2，2）

（2）①由题意可知：这样的C点有3个．
如图：当OA是对角线时，C是过O平行于AB的直线，以及过A平行于OB的直线的交点，
设直线OB的解析式是y=kx，则2=2k，解得：k=1，
设直线AC的解析式是：y=x+c，则-1+c=1，解得：c=2，直线的解析式是y=x+2，
设直线AB的解析式是：y=mx+n，则

-m+n=1 2m+n=2

，解得：

m= 1 3 n= 4 3

，即直线的解析式是：y=

1

3

x+

4

3

，
设直线OC的解析式是：y=

1

3

x，
解方程组

y=x+2 y= 1 3 x

，解得：

x=-3 y=-1

，
则C的坐标是（-3，-1）；
同理，当AB是对角线时，C的坐标是（1，3）；
OB是对角线时，C的坐标是（3，1）．
故：C₁（-3，-1），C₂（1，3），C₃（3，1）．
②能
当平移后的抛物线经过A、C₁两个点时，将B点向左平移3个单位再向下平移1个单位．
使点B移到A点，这时A、C₁两点的抛物线的解析式为y+1=

2

3

(x+3)2-

1

3

(x+3)
即y=

2

3

x2+

11

3

x+4
附：另两条平移后抛物线的解析式分别为：
i）经过A、C₂两点的抛物线的解析式为y=

2

3

x2+x+

4

3

ii）设经过A、C₃两点的抛物线的解析式为y=

2

3

x2+bx+c，
OC₃可看作线段AB向右平移1个单位再向下平移1个单位得到m，
则C₃（3，1）
依题意，得

1= 2 3 × (-1)2-b+c 1= 2 3 ×32+3b+ c

，
解得

b=- 4 3 c=-1

．
故经过A、C₃两点的抛物线的解析式为y=

2

3

x2-

4

3

x-1．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）把A（-1，m）代入函数式而解得；（2）①由题意可知点C有几个，②分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程．也从而确定能．本题有一定难度，在图象上作好辅助线，考虑全面，而不至于漏解．