题目内容

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）求CD的长；
（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2 $数学公式$ cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm²），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．

解：（1）过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．
∴CH=BC-BH=14-6=8cm．
在Rt△DCH中，∠DHC=90°，
∴CD= $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ cm．

（2）当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t．
①当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=2 $\text{[math]}$ •t．
又∵DH=HC，DH⊥BC，
∴∠C=45°．
∴在Rt△QCG中，QG=QC•sin∠C=2 $\text{[math]}$ t×sin45°=2t．
又∵BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ= $\text{[math]}$ BP×QG= $\text{[math]}$ （14-t）×2t=14t-t²．
当Q运动到D点时所需要的时间t= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4．
∴S=14t-t²（0＜t≤4）．

②当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，
则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ= $\text{[math]}$ BP×QG= $\text{[math]}$ （14-t）×8=56-4t．
当Q运动到A点时所需要的时间t= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4+ $\text{[math]}$ ．
∴S=56-4t（4＜t≤4+ $\text{[math]}$ ）．
综合上述：所求的函数关系式是：
S=14t-t²（0＜t≤4），
S=56-4t（4＜t≤4+ $\text{[math]}$ ）；

（3）要使运动过程中出现PQ∥DC，
∵AD∥BC，∴CPQD是平行四边形，
∴CP=DQ，
1•t=at-8 $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ ①，
又∵Q点在AD边上，
∴ $\text{[math]}$ ＜t≤ $\text{[math]}$ ②，
把①代入②，解得a≥1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
故a的取值范围是a≥1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则在Rt△DCH中，由DH、CH的长度，运用勾股定理即可求出CD的长；
（2）由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q在CD上；②点Q在DA上．针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G．由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）令DQ=CP，Q点在AD边上，求出a的取值范围．
点评：本题考查了动点与图形面积问题，需要通过题目的条件，分类讨论，利用特殊三角形，梯形的面积公式进行计算．