题目内容

下图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝(x―m)2―m2＋m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD作AE∥x轴，DE∥y轴．

(1)当m＝2时，求点B的坐标；

(2)求DE的长？

(3)①设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式？

②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

答案：
解析：

　　(1)当m＝2时，y＝(x―2)2＋1

　　把x＝0代入y＝(x―2)2＋1，得：y＝2

　　∴点B的坐标为(0，2)

　　(2)延长EA，交y轴于点F

　　∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90°，∠CAF＝∠DAE

　　∴△AFC≌△AED

　　∴AF＝AE，

　　∵点A(m，―m2＋m)，点B(0，m)

　　∴AF＝AE＝|m|，BF＝m―(―m2＋m)＝m2

　　∵∠ABF＝90°―∠BAF＝∠DAE，

　　∠AFB＝∠DEA＝90°，

　　∴△ABF∽△DAE

　　∴＝，即：＝

　　∴DE＝4

　　(3)①∵点A的坐标为(m，―m2＋m)，

　　∴点D的坐标为(2m，―m2＋m＋4)，

　　∴x＝2m， y＝―m2＋m＋4

　　∴y＝―·＋＋4

　　∴所求函数的解析式为：y＝―x2＋x＋4

　　②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF　

　　(Ⅰ)当四边形ABDP为平行四边形时(图1)，

　　点P的横坐标为3m

　　点P的纵坐标为：(―m2＋m＋4)―(m2)＝―m2＋m＋4

　　把P(3m，―m2＋m＋4)的坐标代入y＝―x2＋x＋4得：

　　―m2＋m＋4＝―×(3m)2＋×(3m)＋4

　　解得：m＝0(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去)

　　或m＝8

　　(Ⅱ)当四边形ABDP为平行四边形时(图2)，

　　点P的横坐标为m

　　点P的纵坐标为：(―m2＋m＋4)＋(m2)＝m＋4

　　把P(m，m＋4)的坐标代入y＝―x2＋x＋4得：

　　m＋4＝―m2＋m＋4

　　解得：m＝0(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去)或m＝―8

　　综上所述：m的值8或―8．

　　［不同的解答方法，酌情给分．］


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