Question

如图，已知等边三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，当△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半时，AE的长为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  5 +1

  2

  或

  5 -1

  2

• D、

  3+ 3

  6

  或

  3- 3

  6

Answer 1

分析：可证明三个三角形AEG、BFE、CGF全等，则三角形ABC相似于三角形EFG，根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG边长，再设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，利用勾股定理求出x即可．

解答：解：∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C，∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，∴△ABC∽△EFG，
∴

EF

AB

=

S△EFG S△ABC

，
∵△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半，
∴

EF

AB

=

2

2

，
∵AB=1，∴EF=

2

2

，
设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，
∴∠AGH=30°，AH=

1

2

（1-x），EH=

3

2

x-

1

2

，
∴由勾股定理得HG²=AG²-AH²=EG²-EH²，
即（1-x）²-[

1

2

（1-x）]²=（

2

2

）²-（

3

2

x-

1

2

）²，
解得x=

3± 3

6

．
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，难度偏大．