题目内容
【题目】如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=
x2﹣
x+4，对称轴是：直线x=3；（2）P点坐标为（3， 
），
理由见解析；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N（
，﹣3），使△NAC面积最大.
【解析】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)．
把点A(0，4)代入上式，解得a＝
．
∴y＝
(x－1)(x－5)＝
x2－
x＋4＝
(x－3)2－
．
∴抛物线的对称轴是x＝3．
(2)存在，P点的坐标是(3， 
)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB．
∵点B与点C关于对称轴对称，
∴PB＝PC．
∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC．
∴此时△PAB的周长最小．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y＝－
x＋4．
∵点P的横坐标为3，
∴y＝－
×3＋4＝
．
∴P(3， 
)．
(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大．
如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t， 
t2－
t＋4)(0＜t＜5)．
过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D．
由(2)可知直线AC的解析式为y＝－
x＋4．
把x＝t代入y＝－
x＋4，得y＝－
t＋4．
∴G(t，－ 
t＋4)．
∴NG＝－
t＋4－(
t2－
t＋4)＝－
t2＋4t．
∵AD＋CF＝OC＝5，
∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝
NG·AD＋
NG·CF＝
NG·OC
＝
×(－
t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－
)2＋
．
∵当t＝
时，△NAC面积的最大值为
．
由t＝
，得y＝
×(
)2－
×
＋4＝－3．
∴N(
，－3)．
