Question

如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD与OB、OC交于M、N．
（1）求证：MN∥BC； 
（2）求证：MN+BC=OB．

Answer 1

分析：（1）连结OD，OA，先计算出正十边形的中心角得到∠BOC=∠COD=∠AOB=36°，则∠BOD=72°，根据圆周角定理得∠A=

1

2

∠BOD=36°，再根据三角形内角和定理计算出∠1=∠2=72°，同理得到∠3=72°，则∠ABC=144°，所以∠A+∠ABC=180°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）先计算出∠AMB=72°，则∠OMN=∠AMB=72°，利用三角形外角性质得∠OMN=∠AOM+∠OAM，则∠OAM=36°，所以OM=AM，于是三角形全等的判定方法得到△OMN≌△AMB，得到MN=MB，OM=AB，加上AB=BC，然后利用等量代换即可得到结论．

解答：证明：（1）连结OD，OA、如图，
∵BC、CD为⊙O的内接正十边形的边长，
∴∠BOC=∠COD=

360°

10

=36°，
∴∠BOD=72°，
∴∠A=

1

2

∠BOD=36°，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2=

1

2

（180°-36°）=72°，
同理∠3=72°，
∴∠ABC=∠1+∠3=144°，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
即MN∥BC；

（2）∵∠A=36°，∠3=72°，
∴∠AMB=180°-∠A-∠3=72°，
∴∠OMN=∠AMB=72°，
∵∠OMN=∠AOM+∠OAM，
∴∠OAM=36°，
∴OM=AM，
在△OMN和△AMB中，

∠MON=∠MAB OM=AM ∠OMN=∠AMB

，
∴△OMN≌△AMB，
∴MN=MB，ON=AB，
而OM=ON，
∴OB=OM+BM=AB+MN，
而AB=BC，
∴MN+BC=OB．

点评：本题考查来了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．