Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，问：在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P共有几个？并请你求出AP的长．

Answer 1

解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴=，
∴=，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴=，
∴=，
∴AP=．
检验：当AP=时，∵BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、、6处．
分析：根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，根据P点不同位置进行分析，解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解是解题关键．