Question

如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且AC=6，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在直线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为________．

Answer 1

3或或9或
分析：根据E点在直线AC上，得出对应点不同求出的EC长度不同，分别得出即可．
解答：解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC==8，
∵点D为BC的中点，
∴CD=4，
当DE∥AB时，
△CED∽△CAB，
∴=，
∴=，
解得：EC=3，
∴AE=6-EC=3，
当=，且∠ACB=∠DCE′时，△CE′D∽△CBA，
则=，
解得：CE′=，
∴AE′=6-=；
当=，且∠ACB=∠DCE₁时，△CE₁D∽△CBA，
则=，
解得：CE₁=，
∴AE₁=6+=；
当=，且∠ACB=∠DCE″时，△CE″D∽△CBA，
则=，
解得：CE″=3，
∴AE″=6+3=9；
综上所述：点E在直线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为3或或9或．
故答案为：3或或9或．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，注意在直线AC上有一点E，进行分类讨论得出是解题关键．