Question

【题目】如图，已知，且，点是射线上一动点（不与点重合），，分别平分和．交射线于点，．

（1）求的度数；

（2）当点运动到使时，求的度数；

（3）在点运动过程中，与之间是否存在一定数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析．

【解析】

（1）由平行线的性质可求得∠APM=130°，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠BPD的度数；
（2）由平行线的性质可得到∠PBA=∠BPM，由已知得出∠BPM=∠APD，得出∠APB=∠MPD，由（1）得：∠APM=130°，∠BPD=65°，即可得出∠APB=∠MPD=×65°=32.5°；
（3）由平行线的性质得出∠ACP=∠CPM，∠ADP=∠DPM，由角平分线定义得出∠CPM=2∠DPM，即可得出∠PCA=2∠PDA．

解：（1）∵PM∥AN，
∴∠A+∠APM=180°，
∵∠A=50°，
∴∠APM=130°，
∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，
∴∠BPC=∠APC，∠DPC=∠MPC，
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC=（∠APC+∠MPC）=×130°=65°；
（2）∵PM∥AN，
∴∠PBA=∠BPM，
∵∠PBA=∠APD，
∴∠BPM=∠APD，
∴∠APB=∠MPD，
由（1）得：∠APM=130°，∠BPD=65°，
∴∠APB=∠MPD=×65°=32.5°；
（3）存在，∠PCA=2∠PDA，理由如下：
∵PM∥AN，
∴∠ACP=∠CPM，∠PDA=∠DPM，
∵PD平分∠MPC，
∴∠CPM=2∠DPM，
∴∠PCA=2∠PDA．