Question

5．如图，P为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=-x-2的图象于点A、B．若AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP，则k的值为2．

Answer 1

分析 如图，连接OP，作AM⊥y轴于M，设A交y轴于N．首先证明OP是第一象限是角平分线，设P（a，a），则A（a，-a-2），B（-a-2，a），可得PB=2a+2，PA=2a+2，推出PA=PB，推出∠PBA=∠PAB=45°，推出∠OAN=∠OAP=∠AON=22.5°，推出∠ANM=∠NOA+∠NAO=45°，推出AM=MN=a，AN=ON=$\sqrt{2}$a，推出A（a，-a-$\sqrt{2}$a），可得方程-a-$\sqrt{2}$a=-a-2，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接OP，作AM⊥y轴于M，设A交y轴于N．

∵AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP，
∴点O是△PAB的内心，
∴OP平分∠APB，
∵∠APB=90°，
∴∠OPA=∠OPB=45°，
∴OP是第一象限是角平分线，设P（a，a），则A（a，-a-2），B（-a-2，a），
∴PB=2a+2，PA=2a+2，
∴PA=PB，
∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴∠OAN=∠OAP=∠AON=22.5°，
∴∠ANM=∠NOA+∠NAO=45°，
∴AM=MN=a，AN=ON=$\sqrt{2}$a，
∴A（a，-a-$\sqrt{2}$a），
∴-a-$\sqrt{2}$a=-a-2，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∵点P在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2，
故答案为2．

点评 本题考查三角形的内心、反比例函数、一次函数、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常填空题中的压轴题．