题目内容
（2014•静安区一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．（1）求证：CD2=BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：
| AG2 |
| AD2 |
| BG |
| BD |
分析：（1）首先根据已知得出∠ACD=∠CBD，以及∠ADC=∠BCD=90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；
（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出
=
，再利用△ABG∽△DBA，得出
=
，则AB2=BG•BD，进而得出答案．
（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出
| AG |
| AD |
| AB |
| BD |
| BG |
| AB |
| AB |
| BD |
解答：证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴△ACD∽△DBC，
∴
=
，
即CD2=BC×AD；
（2）方法一：
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，
∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，
∵∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴
=
，
∴
=
，
又∵△ABG∽△DBA，
∴
=
，
∴AB2=BG•BD，
∴
=
=
=
，
方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，
∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，
∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA，
∴
=（
）2=
，
而
=
，∴
=
．
∴∠ADC=∠BCD=90°，
又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴△ACD∽△DBC，
∴
| AD |
| CD |
| CD |
| BC |
即CD2=BC×AD；
（2）方法一：
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，
∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，
∵∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴
| AG |
| AD |
| AB |
| BD |
∴
| AG2 |
| AD2 |
| AB2 |
| BD2 |
又∵△ABG∽△DBA，
∴
| BG |
| AB |
| AB |
| BD |
∴AB2=BG•BD，
∴
| AG2 |
| AD2 |
| AB2 |
| BD2 |
| BG•BD |
| BD2 |
| BG |
| BD |
方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，
∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，
∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA，
∴
| S△ABG |
| S△DBA |
| AG |
| AD |
| AG2 |
| AD2 |
而
| S△ABG |
| S△DBA |
| BG |
| BD |
| AG2 |
| AD2 |
| BG |
| BD |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABG∽△DBA是解题关键．
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