Question

14．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），过A作AA₁⊥OB，垂足为点A₁；过点A₁作A₁A₂⊥x轴，垂足为点A₂；再过点A₂作A₂A₃⊥OB，垂足为点A₃；则A₂A₃=$\frac{3}{4}$；再过点A₃作A₃A₄⊥x轴，垂足为点A₄…；这样一直作下去，则A₂₀₁₇的纵坐标为$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2017}$．

Answer 1

分析 根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA_n=$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{n}$OA=2$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{n}$”，依此规律即可解决问题．

解答 解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\sqrt{3}$，OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₁═$\frac{3}{2}$，OA₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₂═$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，OA₄=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₃═$\frac{9}{8}$，…，
∴OA_n=$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{n}$OA=2$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{n}$．
∵∠AOB=30°，
∴A₂A₃=$\frac{1}{2}$OA₂=$\frac{3}{4}$，
∴A₂₀₁₇A₂₀₁₈=$\frac{1}{2}$OA₂₀₁₇=$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2017}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$；$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2017}$．

点评 本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OA_n=$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{n}$OA=2$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{n}$是解题的关键．