Question

如图，直线y=kx+b，与抛物线y=ax²交于A（1，m），B（-2，4）+y轴交与点C．
（1）求抛物线的解析式；    
（2）求S_△AOB；
（3）求

BC

AC

的值；
（4）判断点A是否在以BO为直径的圆上？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点B代入抛物线解析式求出a的值，即可得解；
（2）把点A代入抛物线解析式求出m，得到点A的坐标，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，根据S_△AOC=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF，列式计算即可得解；
（3）根据平行线分线段成比例定理解答即可；
（4）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB的解析式，得到∠ACO=45°，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后求出∠OAC=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角证明即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²经过点B（-2，4），
∴4a=4，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²；

（2）把点A（1，m）代入y=x²得m=1，
∴点A的坐标为（1，1），
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF，
=

1

2

×（1+4）×（1+2）-

1

2

×1×1-

1

2

×2×4，
=

15

2

-

1

2

-4，
=3；

（3）∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，OC⊥x轴，
∴AE∥BF∥OC，
∴

BC

AC

=

OF

OE

=2；

（4）∵直线y=kx+b经过A（1，1），B（-2，4），
∴

k+b=1 -2k+b=4

，
解得

k=-1 b=2

，
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
∵直线AB与y轴交与点C，
∴∠ACO=45°，
∵点A（1，1），
∴∠AOC=45°，
∴∠OAC=180°-45°-45°=90°，
∴点A在以BO为直径的圆上．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，以及直径所对的圆周角是直角是的性质，综合题，但难度不大．