题目内容

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每小时1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC交AC于点P，连接MP．
（1）直接写出OA的长度；
（2）试说明△CPN∽△CAB的理由；
（3）试探究在两点的运动过程中，△MPA的面积是否存在着最大值？若不存在，请说明理由；若存在，则求出此时运动了多少小时，并求出△MPA面积的最大值．

解：（1）根据点A的坐标可直接得出OA=4；
答：（1）OA的长度为4．

（2）∵四边形OABC为矩形，
∴AB⊥BC，
又∵NP⊥BC，
∴AB∥NP，
∴△CPN∽△CAB；

（3）设两点的运动时间为x小时，
∵AB=OC=3，OA=BC=4，
则CN=AM=4-x，
∵△CPN∽△CAB， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PN= $\text{[math]}$ ，可求的P点的坐标为（4-x， $\text{[math]}$ x），
∴S_△MPA= $\text{[math]}$ （4-x）• $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ （x-2）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当x=2时，△MPA面积的最大值= $\text{[math]}$ ．
答：△MPA面积的存在最大值，最大值为 $\text{[math]}$ ，此时两点运动了2小时．
分析：（1）根据点A的坐标可直接写出OA的长度；
（2）根据四边形OABC为矩形，推出AB⊥BC，又知NP⊥BC，可推出AB∥NP，进而推出AB∥NP，可证△CPN∽△CAB；
（3）设两点的运动时间为x小时，由已知条件求出CN，然后根据△CPN∽△CAB，求出PN，即可求出点P的坐标，再将数值代入三角形面积公式，即可求解．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质等知识点的理解和掌握，此题综合性较强，涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题．