Question

17．如图，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，点P₁，P₂，P₃，…，P_n在函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，斜边OA₁，A₁A₂，A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x轴上，则点A₁的坐标是（2，0），点A₂₀₁₆的坐标是（24$\sqrt{14}$，0）．

Answer 1

分析 分别作出点P₁，P₂，P₃与x轴的垂线段，根据等腰直角三角形三线合一的性质可知，这此垂线段又是斜边上的中线，则等于斜边的一半；设未知数，根据反比例函数关系式列等量关系，求出未知数的值，并取舍，找出规律，并化简．

解答 解：过点P₁作P₁B⊥x轴于B，
∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，
∴OB=P₁B，
则OB•P₁B=1，
∴OB=1，OA₁=2，
∴A₁（2，0）；
过点P₂作P₂D⊥x轴于D，设A₁D=x，则OD=2+x，
同理得：A₁D=P₂D=x，
则OD•P₂D=1，
x（2+x）=1，
解得：x₁=-1+$\sqrt{2}$，x₂=-1-$\sqrt{2}$（舍），
∴A₂（2$\sqrt{2}$，0）
过点P₃作P₃E⊥x轴于E，设P₃E=y，则OE=2$\sqrt{2}$+y，
则OE•P₃E=1，
y（2$\sqrt{2}$+y）=1，
解得：y₁=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，y₂=-$\sqrt{2}-\sqrt{3}$（舍），
∴A₂A₃=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，
∴OA₃=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴A₃（2$\sqrt{3}$，0），
所以可以得出：A₂₀₁₆的坐标（2$\sqrt{2016}$，0），即（24$\sqrt{14}$，0），
故答案为：（2，0），（24$\sqrt{14}$，0）．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，同时也考查了等腰直角三角形的性质；本题的关键是找出等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即点P₁，P₂，P₃的纵坐标等于斜边的一半．