题目内容
如图，DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，且DE、FG、MN交于点P．若记S△ABC=S，S△PDM=S1，S△PEF=S2，S△PGN=S3．请猜想：S与S1、S2、S3之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？
分析：根据DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，求证△PDM∽△CBA，利用四边形DPBG是平行四边形得出PD=BG，
=
，
=
，进一步得出
+
+
=
=1，再利用相似三角形面积比是相似比的平方即可得出结论．
| DM |
| AB |
| BG |
| BC |
| EF |
| AC |
| CN |
| BC |
| DM |
| AB |
| EF |
| AC |
| GN |
| BC |
| BC |
| BC |
解答：解：S与S1、S2、S3之间存在关系：
+
+
=
．
证明：∵FG∥AB，
∴△PDM∽△CBA，
∴
=
，
又∵DE∥BC，
∴四边形DPGB是平行四边形，
∴PD=BG，
∴
=
，
同理：
=
，
∴
+
+
=
=1
由△PDM∽△CBA得
=(
)2，
即
=
，
=
，
=
，
∴即
+
+
=1，
∴
+
+
=
．
| S1 |
| S2 |
| S3 |
| S |
证明：∵FG∥AB，
∴△PDM∽△CBA，
∴
| DM |
| AB |
| PD |
| BC |
又∵DE∥BC，
∴四边形DPGB是平行四边形，
∴PD=BG，
∴
| DM |
| AB |
| BG |
| BC |
同理：
| EF |
| AC |
| CN |
| BC |
∴
| DM |
| AB |
| EF |
| AC |
| GN |
| BC |
| BC |
| BC |
由△PDM∽△CBA得
| S1 |
| S |
| DM |
| AB |
即
| ||
|
| DM |
| AB |
| ||
|
| EF |
| AC |
| ||
|
| GN |
| BC |
∴即
| ||
|
| ||
|
| ||
|
∴
| S1 |
| S2 |
| S3 |
| S |
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积的理解和掌握，利用相似三角形的相似比和平行四边形的性质得出
+
+
=
=1，这是此题的突破点，此题属于难题．
| DM |
| AB |
| EF |
| AC |
| GN |
| BC |
| BC |
| BC |
练习册系列答案
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