Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，点．将绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为．

（1）如图①，当时，求点的坐标；

（2）如图②，当时，求点的坐标；

（3）连接，设线段的中点为，连接，求线段的长的最小值（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）过点作，垂足为，根据题意可得，，从而求出，，根据旋转的性质，点在线段上，然后利用锐角三角函数即可求出结论；

（2）连接，过点作，垂足为，根据旋转的性质，，然后利用锐角三角函数可得，，求出OD，即可得出结论；

（3）连接，设线段的中点为，连接，取的中点N，连接、MN，根据中位线的性质可得MN=OB=，利用勾股定理求出，然后根据三角形的三边关系即可得出结论．

解：（1）如图，过点作，垂足为．

∵ 点，点，

∴ ，．

∴ ，．

∵ 是绕点顺时针旋转得到的，，

∴ ，点在线段上．

∴ ．

在中，，．

∴ 点的坐标为．

（2）如图，连接，过点作，垂足为．

∵ ，，

∴ ，．

∴ ．

在中，，．

∴ ．

∴ 点的坐标为．

（3）连接，设线段的中点为，连接，取的中点N，连接、MN

∴MN为△A′OB的中位线，

∴MN=OB=

由勾股定理可得

∴≥－MN=（当且仅当M 在线段O′N上时，取等号）

∴的最小值为．