Question

【题目】如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动(与、不重合)．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动(不与重合)．设运动时间为以 ()．过作于，连接交 于.

（1） ， ；（用含 的代数式表示）

（2）当为何值时，为直角三角形；

（3）点沿的延长线的方向平移到 ，且．是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，，理由见解析；（4）

【解析】

（1）P、Q速度都为1cm/s，由速度乘时间可得到运动路程均为tcm，PC的长度为等边三角形边长减去t，QC的长度为边长加上t，即可得到答案；

（2）当△CPQ为直角三角形时，∠Q=30°，利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半建立方程求解；

（3）连接交于，由角平分线和平行，易得，利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，可得，然后建立关于t的方程求解；

（4）过点作，交直线的延长线于点，先利用AAS证明≌，得到，，然后易得≌，推出，最后由线段等量代换可得，即可得出ED始终为等边三角形边长的一半.

解：（1）∵P、Q速度都为1cm/s，

∴BQ=AP=tcm

∴PC=AC-AP=，QC=BC+BQ=

故答案为：，；

（2）∵当△CPQ为直角三角形时，∠Q=30°

∴，即，解得

所以当=2，为直角三角形；

（3）存在.

理由：如图，连接交于

∵在等边三角形ABC中，CF是∠ACB的角平分线，

∴，

∵

∴

∴

在Rt△AEP中，∠APE=30°，

∴AE=AP=

∵EM=AM-AE

∴

即

解得

所以当时，点在的平分线上.

（4）当点、运动时，线段的长度不会改变，理由如下：

过点作，交直线的延长线于点

又∵于

∴

∵点、速度相同

∴

∵是等边三角形，

∴

在和中

∵，，

∴≌（）

∴，

在和中

∵∠PDE=∠QDH，∠PED=∠QHD，PE=QH

∴≌（）

∴，即

∵

∴

又∵等边的边长为6

∴

所以在运动过程中线段的长不会发生变化，．