Question

【题目】（本题满分分）

（）【问题】如图，点为线段外一动点，且， ．当点位于__________时线段的长取得最大值，且最大值为__________（用含、的式子表示）．

（）【应用】点为线段除外一动点，且， ．如图所示，分别以、为边，

作等边三角形和等边三角形，连接、．

①请找出图中与相等的线段，并说明理由．

②直接写出线段长的最大值．

（）【拓展】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段

外一动点，且， ， ．请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（）延长线上， ；（）①；②（）；

【解析】（）当三点不共线时，三角形两边之和大于第三边，即；

当在延长线上时， ；

当在线段上时， ．

故当在延长线上时， 取得最大值，且为．

（）①依题意得， ，利用等边三角形每个角都是和角的关系得，

最后根据边角边定理证明≌，

从而推出．

②因为，所以线段的最大值即的最大值．

根据三角形两边之和大于第三边，所以最大时即、、三点共线，

得到的最大值为，

故的最大值为．

（）如图1，以点为圆心， 为半径作弧，交以点为圆心，

为半径作的弧于点，连接、、，则．

在和中，

，

所以≌，

所以，又因为，

所以，即．

由（）可知，当点在的延长线上时， 取得最大值，

又因为，所以此时取得最大值．

如图2，点在的延长线上时，过点作轴于点．

在中，由勾股定理得

，

所以．

因为， ，所以是等腰直角三角形，

又因为，所以，

又因为点，

所以，

所以点坐标为．