Question

【题目】已知二次函数中x和y的部分对应值如下表：

x … ﹣1 0 1 2 3 …

y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积；

（3）在抛物线上，是否存在一点Q，使△QBC中QC=QB？若存在请直接写出Q点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P（，﹣），；（3）Q1（，﹣）、Q2（，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）首先求得直线BC的解析式，过P作PN⊥x轴交直线BC于点M，然后根据S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB，即可把S△BPC表示成P的横坐标x的函数，根据函数的性质求最值；

（3）QC=QB，则Q就是线段BC的中垂线与二次函数的交点，首先求得BC的解析式，然后解方程组即可．

解：（1）设y=a（x+1）（x﹣3）把（0，﹣3）代入可得：﹣3=a（0+1）（0﹣3）

解得：a=1则y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）S四边形ABPC=S△ABC+S△BPC=×1×3+S△BPC，

设直线BC的解析式是y=kx+b，

则，

解得：，

则直线BC的解析式是：y=x﹣3．

过P作PN⊥x轴交直线BC于点M，设P（x，x2﹣2x﹣3）则M（x，x﹣3）

∴MP=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x

S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB

=PMOB=（﹣x2+3x）×3=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+（0＜x＜3）．

当x=时，S△BPC的最大值为，则 S四边形ABPC的最大值为：+=，

此时P（，﹣）；

（3）BC的中点坐标是（，﹣）．

设线段BC的中垂线的解析式是y=﹣x+c，则﹣+c=﹣，

解得c=0，

即BC的中垂线的解析式是y=﹣x．

根据题意得：，

解得：或．

则Q的坐标是：Q1（，﹣）、Q2（，﹣）．