Question

若一个矩形的短边与长边的比值为

5 -1

2

（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）只需在矩形的长上截取AE=AD，DF=AD，连接EF即可；
（2）可以结合（1）中正方形的性质求得矩形EBCF的宽与长的比进行分析；
（3）只要在黄金矩形中截取以矩形的短边为边长的正方形后，剩下的仍然是黄金矩形．

解答：解：（1）如图．

（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠AEF=90°
∴∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∴四边形EBCF是矩形．
【方法1】设CD=a，AD=b，则

b

a

=

5 -1

2

∴

CF

EF

=

a-b

b

=

a

b

-1=

2

5 -1

-1=

2( 5 +1)

4

-1=

5 -1

2

∴矩形EBCF是黄金矩形．
【方法2】设CD=a，则AD=

5 -1

2

a，CF=CD-DF=a-

5 -1

2

a=

3- 5

2

a
∴

CF

EF

=

3- 5 2 a

5 -1 2 a

=

3- 5

5 -1

=

5 -1

2

∴矩形EBCF是黄金矩形．

（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．

点评：此题综合运用了正方形的性质和黄金矩形的概念．