Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．设点D运动的时间为t秒．
（1）如图1，过点D作DH⊥AB于H，当t为何值时，△ADH≌△ABC，并求出此时DE的长度；
（2）如图2，过点B作射线BP∥AC，过点E作EF⊥AC交射线BP于F，G是EF中点，连接DG．当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴BA=

AC2+BC2

=

36+64

=10，
∵当△ADH≌△ABC时，AB=AD，AC=AH，
∵动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，
∴5t=10，即t=2；
AE=AC+CE=6+3t=6+6=12，DE=AE-AD=12-10=2；

（2）∵EF=BC=8，G是EF的中点，
∴GE=4．
当AD＜AE（即t＜3）时，DE=AE-AD=6+3t-5t=6-2t，
若△DEG与△ACB相似，则

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

6-2t

4

=

6

8

或

6-2t

4

=

8

6

，
∴t=

3

2

或t=

1

3

，
当AD＞AE（即t＞3）时，DE=AD-AE=5t-（6+3t）=2t-6，
若△DEG与△ACB相似，则

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

2t-6

4

=

6

8

或

2t-6

4

=

8

6

，
解得t=

9

2

或t=

17

3

．
综上所述，当t=

9

2

或

17

3

或

3

2

或

1

3

时，△DEG与△ACB相似．

点评：此题考查了勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．