Question

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E．弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若⊙O的半径为2，求△BEF的面积．
（3）若BA=4，CG=2，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）根据三角形ABC是等边三角形，得到∠BCA=∠BAC=60°，再根据圆周角定理的推论得到∠BFE=∠BCA=60°．根据两条平行弦所夹的弧相等证明弧DE=弧CF，从而得到∠EBD=∠CBF，∠EBF=∠ABC=60°，从而证明结论；
（2）利用等边三角形的内外心重合得出∠OFM=30°，再利用半径为2，求出S_△BOF=

1

2

×OM×BF进而得出△BEF的面积为：3S_△BOF得出答案即可；
（3）结合等边三角形的边相等，尽量能够把已知的线段和未知的线段放到两个相似三角形中，进行求解．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°
又∵∠BFE=∠BCA=60°，
∴△BEF是等边三角形．

（2）解：连接AF，过点O作OM⊥BF于点M，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠OFM=30°，
∵AF=2，
∴AM=

1

2

×2=1，
∴MF=

3

，
∴BF=2

3

，
∴S_△BOF=

1

2

×OM×BF=

1

2

×1×2

3

=

3

；
∴△BEF的面积为：3S_△BOF=3×

3

=3

3

．

（3）解：∵∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠FBG=∠ABE，
又∵∠BFG=∠BAE=120°，
∴△BFG∽△BAE，
∴

BF

BA

=

BG

BE

，
又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，
∴BF²=AB•BG=24，
可得BF=2

6

或-2

6

（舍去）．

点评：此题主要考查了圆周角定理、两条平行弦所夹的弧相等的性质以及等边三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练利用等边三角形的性质得出是解题关键．