题目内容

如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以点P为圆心、PB为半径作⊙P，作∠OBP的平分线分别交⊙P、OP于C、D，连接AC．
（1）求证：直线AB是⊙P的切线．
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）如图2，当m=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙Q交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧
OE
、
OF
的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．
分析：（1）根据切线的判定定理证得∠ABP=90°后即可判定切线；
（2）连接PC，根据∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，从而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面积公式得到S=
3
2
m2；
（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，从而得到NH=
1
2
NR=
1
2
OF和MG=
1
2
OE，最后求得MG+NH=
1
2
（OE+OF）=
1
2
×4=2
解答：解：（1）∵∠POB=90°，∠APB=60°，
∴PB=m，
∴PO=
1
2
PB=
1
2
m，OB=
3
2
m，
又∵PA=2m，
∴OA=
3
2
m，
在RT△OAB中，AB=
3
m
∴PA2+AB2=PA2
∴∠ABP=90°，
∵PB是⊙P的半径，
∴直线AB是⊙P的切线．

（2）连接PC，
∵∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，
∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD
∴AD=AB=
3
m，
又∵PB=PC=m，
∴PC∥OC
∴∠CPA=∠POB=90°，
∴S△ACD=
1
2
AD×CP=
1
2
×
3
m×m=
3
2
m2；

（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，
当m=2时，PO=
1
2
m，由（2）知∠CPA=90°，
∴C点WEI （1，-2），
∴T为（2，-2，）TJ=TK=2，
∴点T在∠EOF的平分线上，
∴
ET
=
FT

∴TE=TF，
∴△ETJ≌△FTK，
∴EF=FK，
∴OE+OF=OJ-EJ+OK+FK=OJ+OK=4
延长NH交⊙Q于R，连接QN，QR，∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙Q的直径，∴
FR
=
FN

∴
FO
=
NR

∴NR=OF
∴NH=
1
2
NR=
1
2
OF
同理MG=
1
2
OE
∴MG+NH=
1
2
（OE+OF）=
1
2
×4=2
点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，一般为中考题的压轴题．
练习册系列答案
相关题目
2、若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点（a+b，ac）在（　　）
（2013•松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，cos∠AOB=
23

（1）求：公共弦BC的长度；
（2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．
（2012•南通）如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=
1
2
x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y=
1
2
x2+bx+c向上平移
7
2
个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．
已知直线l1、l2经过K（2，2）
（1）如图1，直线l2⊥l1于K．直线l1分别交x轴、y轴于A点、B点，直线l2，分别交x轴、y轴于C、D，求OB+OC的值；
（2）在第（1）问的条件下，求S△ACK-S△OCD的值：
（3）在第（2）问的条件下，如图2，点J为AK上任一点（J不于点A、K重合），过A作AE⊥DJ于E，连接EK，求∠DEK的度数．
（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程） 
（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）
（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？
（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．

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