题目内容
【题目】已知,矩形
中,
,
,
的垂直平分线
分别交
、
于点
、
,垂足为
.
(1)如图,连接
、
.求证四边形
为菱形,并求的长；
(2)如图,动点
、
分别从
、
两点同时出发,沿
和
各边匀速运动一周.即点自→→
→停止,点自→
→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5
,点的速度为每秒4,运动时间为
秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为
、
(单位:,
),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,写出与满足的数量关系式.(直接写出答案，不要求证明)
【答案】（1）证明略，
（2） ①
秒. ②
与
满足的函数关系式是
【解析】
试题（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可.
试题解析：（1）证明:①∵四边形
是矩形
∴
∥
∴
,
∵
垂直平分
，垂足为
∴
∴
≌
∴
∴四边形
为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长
，则
在
中，
解得
∴
（2）①显然当
点在
上时,
点在
上，此时
、
、、四点不可能构成平行四边形；同理点在
上时，点在
或
上，也不能构成平行四边形.因此只有当点在
上、点在
上时，才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒10cm，点的速度为每秒6cm，运动时间为
秒
∴
,
∴
，解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.
②由题意得，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i）如图1，当点在上、点在上时，
,
，即
ii）如图2，当点在上、点在上时，,
，即
iii）如图3，当点在上、点在上时，,
，即
综上所述，与满足的函数关系式是
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