Question

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E

Answer 1

解：（1）由抛物线y=﹣x²+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得。∴抛物线的函数关系式为。

设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得

，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，令x=0，得y=3，即N（0，3）。∴N′（6， 3）

由得D（1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则

，解得。X K  b1. C  om

∴故直线DN′的函数关系式为。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，∴。∴使MN+MD的值最小时m的值为。

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。

②当BD为平行四边形边时，∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。又∵BD=2∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。

∴，即。

若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

若，解得，，∴E或E。

综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。