Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠A=30°，BC=2，求S_扇形BOC．（结果保留π）
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）由AB为⊙O的直径，∠A=30°，BC=2，易求得直径AB的长，圆心角∠BOC的度数，继而求得S_扇形BOC．
（2）首先设半径为xcm，由垂径定理，求得CE的长，然后由勾股定理，得方程：12²+（x-8）²=x²，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，∠BOC=60°，
∴OE=2，
∴S_扇形BOC=

60×π×22

360

=

2

3

π；

（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

×24=12（cm），
设⊙O的半径为xcm，则OE=x-8（cm），
在Rt△OCE中，CE²+OE²=OC²，
∴12²+（x-8）²=x²，
解得：x=13，
∴⊙O的直径为26cm．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．