Question

如图，抛物线经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上；
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由A（-4，0）、B（-2，2）在抛物线图象上，得： ，解之得， ∴该函数解析式为：； （2）过点B作BC垂直于轴，垂足是点C， 易知：线段CO、CA、CB的长度均为2， ∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形， ∴AB=OB 且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°， ∴△OAB是等腰直角三角形； （3）如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′其中点B′正好落在轴上且B′A′∥轴， 又∵OB′和A′B′的长度为，A′B′中点P的坐标为，显然不满足抛物线方程， ∴点P不在此抛物线上； （4）存在。 过点O，作OM∥AB交抛物线于点M，易求出直线OM的解析式为：y=x， 联立抛物线解析式得：，解之得，点M（-6，-6）， 显然，点M（-6，-6）关于对称轴x=-2的对称点M′（2，-6）也满足要求，故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（-6，-6）和（2，-6）， ∴S△BOM=S△ABO+S△AOM=×4×2+×4×6=16。