Question

【题目】综合与实践：

如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点．

观察发现：

（1）如图1．当，两点均在直线的上方时，

①猜测线段，与的数量关系，并说明理由；

②直接写出线段，与的数量关系；

操作证明：

（2）将等腰直角三角尺绕着点逆时针旋转至图2位置时，线段，与又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；

拓广探索：

（3）将等腰直角三用尺绕着点继续旋转至图3位置时，与交于点，若，，请直接写出的长度．

Answer 1

【答案】（1）①． 理由见解析；②；（2）；证明见解析；（3）的长度为．

【解析】

（1）过点作根据已知条件结合直角三角形性质证明，从而得到四边形为正方形，最后得出①，直接写出②（2）过点作，先证明证明四边形为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点作，证明，四边形为正方形，再求解.

解：（1）①．

理由如下：

如图，过点作，交的延长线于点，

∵，，

∴．

又∵

∴

∴四边形为矩形．

∴．

又∵，

∴．

即．

在和中，

∴．

∴，．

又∵四边形为矩形，

∴四边形为正方形．

∴．

∴．

②．

（2）

如图，过点作，交延长线于点，

∵，，

∴．

又∵，

∴．

∴四边形为矩形．

∴．

又∵，

∴，

即．

在和中，

∴．

∴，．

又∵四边形为矩形，

∴四边形为正方形．

∴．

∵，

∴．

∴．

（3）

如图，过点作，交于点，

同理可证，，四边形为正方形．

∴，．

∵，

∴．

∴．

∵，，

∴，．

∵，

∴．

∴．

∴．