Question

已知抛物线过A（-2，0）、B （1，0）、C（0，2）三点，
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线过点A（-2，0），B（1，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-1），
把点C（0，2）代入上式得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+2．

（2）存在．设P点坐标为（m，n），
∵∠AOP=45°，A（-2，0），
∴m＜0，且n=m或n=-m，
当m=-m²-m+2；
解得m₁=-1+（舍去），m₂=-1-，
当-m=-m²-m+2；
解得m₁=（舍去），m₂=-；
∴存在符合题意的点P，其坐标为P（-1-，-1-）或P（-）．
分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．
（2）由于点A在x轴上，若∠AOP=45°，那么P点必在第二或第三象限的角平分线上，即P点的横、纵坐标的绝对值相同，可据此设出点P的坐标，然后代入抛物线的解析式中进行求解即可．
点评：此题主要考查的是用待定系数法确定二次函数解析式的方法以及函数图象上点的坐标意义等知识，属于基础知识，难度不大．