Question

在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

①求证：DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

 

Answer 1

证明：（1）①∵AC＝BC，∠ACB＝90⁰

                ∴∠A＝∠B＝45⁰

               又GD⊥AC

                ∴∠ADG＝90⁰

              在△ADG中，

∠A+∠ADG+∠AGD＝180⁰

              ∴∠AGD＝45⁰

              ∴∠A=∠AGD

              ∴AD=DG       

            又D是AC中点

              ∴AD＝DC

              ∴DG＝DC           

②由①DG＝DC

又∵DF＝DE

∴DF-DG＝DC-DE

即FG＝CE              .

由①∠AGD＝45⁰

∴∠HGF＝180⁰-45⁰＝135⁰

又DE＝DF，∠EDF＝90⁰

∴∠DEF＝45⁰

∴∠CEF＝180⁰-45⁰＝135⁰

∴∠HGF＝∠FEC          

又HF⊥CF

∴∠HFC＝90⁰

∴∠GFH+∠DFC＝180⁰-90⁰＝90⁰

又Rt△FDC中

∠DFC+∠ECF＝90⁰

∴∠GFH＝∠ECF          

在△FGH和△CEF中

∴△FGH≌△CEF（ASA）

∴FH＝FC                  

        （2）图略（10分）

            △FHG≌△CFE           

            不变，FH=FC