题目内容

如图1，顶点为B（r，t+6），的抛物线y=ax²+bx+c过点A（0，6），t≠0，连接AB，P是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线（垂足为D），交抛物线y=ax²+bx+c于点C，设点P的横坐标为m，AC、AB、BC围成的图形面积为S，点P，C之间的距离为d，s是m的二次函数，图象如图2所示，Q为顶点，O，E为其与m轴的两个交点．
（1）求s与m的函数关系；
（2）求r的值；
（3）求d与m函数关系式；
（4）求抛物线y=ax²+bx+c的表达式．

解：

（1）由图2可知，抛物线的顶点Q（2，4），且过点E（4，0），
设S=a（m-2）²+4，
将点E（4，0）代入得，0=a（4-2）²+4，
解得：a=-1，
故可得：S=-（m-2）²+4．
（2）由图1可知，当点P与A或B重合时，s=0，由图2知，此时点P的横坐标为0或4，
所以点B（4，t+6），从而r=4．
（3）过点A作直线PC，直线x=4的垂线，垂足分别为M，N，且AN=4，
∵S= $\text{[math]}$ PC•AM+ $\text{[math]}$ PC•MN= $\text{[math]}$ AN•PC=2PC=2d，
∴d= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （m-2）²+2=- $\text{[math]}$ m²+2m．
（4）抛物线y=ax²+bx+c的顶点B（4，t+6），且过A（0，6），
可设抛物线为y=a（x-4）²+t+6，
将A（0，6）代入得：6=16a+t+6，
解得：a= $\text{[math]}$ ，
所以y= $\text{[math]}$ （x-4）²+t+6，
因为直线AB过A（0，6），可设其解析式为y=kx+6，
将B（4，t+6）代入得，t+6=4k+6，解得，k= $\text{[math]}$ ，所以直线AB：y= $\text{[math]}$ tx+6，
因而点P（m， $\text{[math]}$ m+6 ），点C（ m， $\text{[math]}$ （m-4）²+t+6 ），
PC=d= $\text{[math]}$ m+6-[ $\text{[math]}$ （m-4）²+t+6]= $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m，
因为当m=2时，d=2，所以 $\text{[math]}$ ×2²- $\text{[math]}$ ×2=2，即解得t=-8，
因而所求抛物线为y= $\text{[math]}$ （x-4）²-2．
分析：（1）根据2可得出抛物线顶点Q的坐标为（2，4），且过点E（4，0），然后设s=a（m-2）²+4，将点E（4，0）代入，可得出a的值，继而可得出s与m的函数关系式．
（2）根据图1当点P与A或B重合时，s=0，结合图2，s=0时点P的横坐标，可得出点B的横坐标为4，即可得出r的值．
（3）过点A作直线PC，直线x=4的垂线，垂足分别为M，N，且AN=4，然后将a用t表示出来，求出直线AB的解析式，得出点P、点C的坐标，根据PC=d，结合当m=2时，d=2，可得出t的值，继而可得出抛物线的解析式．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的图象，亮点在于两个二次函数图象的结合，要求我们能正确从图象中获取信息，解答本题的难点在第三问，过程比较繁琐，注意仔细思考．