Question

【题目】如图1，直线与双曲线交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点、点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，直接写出点的坐标；

（3）如图2，过点作直线交轴的负半轴于点，连接交轴于点，且的面积与的面积相等．

①求直线的解析式；

②在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或．

【解析】

（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，将已知点坐标代入并解方程（组）即可；
（2）先求出直线l1与坐标轴的交点坐标，可得：△COE是等腰直角三角形，再由翻折可得：OCHE是正方形．即可求出H的坐标；
（3）①先待定系数法求直线AO解析式为y=3x，再由△AEG的面积与△OFG的面积相等可得：EF∥AO，即可求直线l2的解析式；
②存在，由S△PBC=S△OBC可知：点P在经过点O或H平行于直线l1：y=-x+4的直线上，易求得点P的坐标为P（-1，1）或P（1，7）．

解：（1）将、点代入得，解得：

直线的解析式为：；

将代入中，得，

双曲线的解析式为：．

（2）如图1中，

在中，令，得：

是等腰直角三角形，

由翻折得：

，

是正方形．

．

（3）如图2，连接，

①、．设直线解析式为，，

直线解析式为，

直线的解析式为：；

②存在，点坐标为：或．

解方程组得：，；

；

，

点在经过点或平行于直线的直线上，

易得：或

分别解方程组或得：或

点的坐标为或．