Question

13．若z=3x（3y-x）-（4x-3y）（x+3y）
（1）若x，y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；
（2）若y=x+1，求z的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先利用整式的乘法计算方法计算，进一步合并求证得出答案即可；
（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）证明：
z=3x（3y-x）-（4x-3y）（x+3y）
=9xy-3x²-（4x²+9xy-9y²）
=9xy-3x²-4x²-9xy+9y²
=-7x²+9y²
∵x是3的倍数时，
∴z能被9整除．
（2）当y=x+1时，
则z=-7x²+9（x+1）²
=2x²+18x+9
=2（x+$\frac{9}{2}$）²-$\frac{63}{2}$
∵2（x+$\frac{9}{8}$）²≥0
∴z的最小值是-$\frac{63}{2}$．

点评 此题考查二次函数的性质，整式的混合运算，利用整式的计算方法先化简是解决问题的关键．