Question

【题目】抛物线经过点和点．

求该抛物线所对应的函数解析式；

该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．

连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

连结PB，过点C作，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为81；

存在点P，使得与相似，点P的坐标为或．

【解析】

(1)由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)①联立抛物线与直线CD的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，根据三角形面积公式可得出，利用二次函数的性质即可解决最值问题；②利用相似三角形的性质可得出：若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，进而可得出，，，，将其代入或中即可求出x的值，结合即可得出点P的坐标．

(1)∵抛物线经过点和点，

，

解得，

该抛物线对应的函数解析式为；

(2))①联立抛物线与直线CD的解析式成方程组，

得：，

解得：，，

与相似，点P的坐标为或．

设点P的坐标为，则点N的坐标为，

，

．

，

当时，取最大值，最大值为81，

在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为81．

②∵，

若与相似，则有或，

设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，

，，，．

当或时，有，

解得：，舍去，

点P的坐标为；

当时，有，

解得：，舍去，

点P的坐标为．

综上所述：存在点P，使得与相似，点P的坐标为或．