Question

已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接．

（1）当时，求的面积；

（2）设，用含的代数式表示的面积；

（3）判断的面积能否等于，并说明理由．

Answer 1

解：（1）正方形中，，．

又，因此，即菱形的边长为．

在和中，，

，，

．．

，，

，即菱形是正方形．

同理可以证明．

因此，即点在边上，同时可得，

从而．

（2）作，为垂足，连结，

，，

，．

．

在和中，，，

．

，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2．

因此．

（3）若，由，得，此时，在中，．

相应地，在中，，即点已经不在边上．

故不可能有．

另法：由于点在边上，因此菱形的边长至少为，

当菱形的边长为4时，点在边上且满足，此时，当点逐渐向右运动至点时，的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为．

此时，，故．

而函数的值随着的增大而减小，

因此，当时，取得最小值为．

又因为，

所以，的面积不可能等于1．