Question

如图，△ABC是等边三角形，点D是AB的三等分点，且

BD

AB

=

1

3

，点E是AC的中点，BE、CD交于点F，则∠EFC的正切值为

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,锐角三角函数的定义

专题：几何图形问题

分析：首先过E作EM∥AB，然后证明DB=EM，再证明△BDF≌△EMF，从而得到FB=FE，设AB=x，再表示出BE长、进而得到EF长，然后再根据正切定义可得答案．

解答：解：过E作EM∥AB，
∵EM∥AB，
∴

EM

AD

=

EC

AC

，∠BEM=∠ABE，
∵点E是AC的中点，
∴AE=EC=

1

2

AC，∠BEC=90°，
∴EM=

1

2

AD，
∵

BD

AB

=

1

3

，
∴BD=

1

2

AD，
∴DB=EM，
在△DBF和△MEF中

∠DFB=∠MFE ∠DBE=∠FEM DB=EM

，
∴△BDF≌△EMF（AAS），
∴FB=FE，
设AB=x，则BC=AC=x，AE=EC=

1

2

x，
BE=

CB2-CE2

=

3

2

x，
∵FB=FE，
∴EF=

3

4

x，
∴∠EFC的正切值为

EC

EF

=

1 2 x

3 4 x

=

2 3

3

，
故答案为：

2 3

3

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，关键是证明FB=EF．