Question

3．如图1，已知数轴上有三点A，B，C，点B是线段AC的中点．

若点A对应的数是3，点C对应的数是9，则点B对应的数是6；
若点A对应的数是-11，点C对应的数是-5，则点B对应的数是-8；
若点A对应的数是-2，点C对应的数是8，则点B对应的数是3；
（2）在（1）的条件下，若点A对应的数是x，点C对应的数是y，请你猜想：线段AC的中点B对应的数是$\frac{x+y}{2}$（用含x，y的代数式表示）．
（3）如图2，在数轴上，若点D，B，C对应的数分别是-400，0，100，点A是线段DB的中点，动点、Q分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒，点M为线段PQ的中点，在上述运动过程中，$\frac{3}{2}$QC-AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出AC，根据中点的性质得到BC=AB，然后求出点B到原点的距离，即可得到点B表示的数．
（2）根据（1）得出规律即可；
（3）假设经过的时间为y秒，得出PD=10y秒，QB=5y秒，进而得出$\frac{400+5y}{2}$+5y-200=$\frac{15}{2}$y，得出$\frac{3}{2}$QC-AM=$\frac{3（100+5y）}{2}$-$\frac{15}{2}$y=150为定值，原题得证．

解答 解：（1）∵数轴上点A对应的数是3，点C对应的数是9，
∴AC=9-3=6，
而点B是线段AC的中点，
∴BC=AB=3，
∴点B表示的数是6．
若点A对应的数是-11，点C对应的数是-5，则AC=6，
∵点B是线段AC的中点，
∴BC=AB=3，
∴点B表示的数是-8．
若点A对应的数是-2，点C对应的数是8，则AC=10，
∵点B是线段AC的中点，
∴BC=AB=5，
∴点B表示的数是3．
故答案为6，-8，3．
（2）由（1）规律可知：若点A对应的数是x，点C对应的数是y，猜想：线段AC的中点B对应的数是$\frac{x+y}{2}$，
故答案为$\frac{x+y}{2}$．
（4）设经过的时间为y，
则PD=10y，QB=5y，
于是PQ点为[0-（-400）]+10y-5y=400+5y，
一半则是$\frac{400+5y}{2}$，
所以AM点为：$\frac{400+5y}{2}$+5y-200=$\frac{15}{2}$y，
又QC=100+5y，
所以$\frac{3}{2}$QC-AM=$\frac{3（100+5y）}{2}$-$\frac{15}{2}$y=150为定值．

点评 此题考查了实数与数轴，也考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．