Question

已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE=1，cos∠AEF=

4

5

，求EF的长．

Answer 1

分析：Rt△ABE中，EF⊥AB，易得∠AEF=∠B，即cos∠B=

4

5

，由此可求得BE、AB的比例关系，即BE、BC的比例关系，根据EC=BC-BE，即可求出BE、AE的长；然后根据∠AEF的余弦值，即可在Rt△AEF中，求出EF的长．

解答：解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1=90°；
∵EF⊥AB，∴∠1+∠B=90°；
∴∠B=∠AEF；（1分）
∴cos∠B=cos∠AEF=

4

5

∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°
∴cos∠B=

BE

AB

=

4

5

；（2分）
设BE=4k，AB=5k，∵BC=AB，∴EC=BC-BE=BA-BE=k；
∵EC=1，∴k=1；（3分）
∴BE=4，AB=5；
∴AE=3；（4分）
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，
∵cos∠AEF=

EF

AE

=

4

5

，（5分）
∴EF=AE×

4

5

=

12

5

．（6分）

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用等知识．